FUNCIONES

GRAFICA DE FUNCIONES



Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Ejemplo para discusión:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:





Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:





Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplos:

1)

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

2)

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

3)
GRAFICA DE FUNCIONES







Dominio y recorrido


El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).



Ejemplo para discusión:



Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:












Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:












Funciones crecientes, decrecientes y constantes


Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.



Ejemplos:



1)


La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.



2)


La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.



3)


La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.



4)


La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.





Función constante


Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.



Ejemplo:






En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.





Función identidad


La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.










Función lineal




Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.



Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).







Ejemplo:








En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4).



Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica.



Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.







Función cuadrática


Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:









f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba.








f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo.





Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.





Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:

1) f(x) = x2 - 2x - 3

2) g(x) = -x2 - 2x + 3



Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica.





Función valor absoluto


La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:










Función dominio partido


Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:







La gráfica de esta función es:





































El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.





Función radical


La función es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:






Su dominio es [0, ¥) y el recorrido es [0, ¥).




La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

4)

La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.


Función constante

Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.

Ejemplo:


En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.


Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.




Función lineal


Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.

Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).



Ejemplo:



En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4).

Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica.

Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.



Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:




f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba.



f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo.


Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.


Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:
1) f(x) = x2 - 2x - 3
2) g(x) = -x2 - 2x + 3

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica.


Función valor absoluto

La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:




Función dominio partido

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:



La gráfica de esta función es:

















El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.


Función radical

La función es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:


Su dominio es [0, ¥) y el recorrido es [0, ¥).

EJEMPLOS DE GRAFICAS

1.1.3 Ejemplos de funciones y sus gráficas
La gráfica de una función
La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).
A continuación discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebráicas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonométricas, más adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus gráficas.
Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante

¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?
Función lineal: f(x) = ax + b

¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?
Función cuadrática:f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0
El punto rojo se llama vértice de la parábola.
¿Cuáles son sus coordenadas?
¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?
f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola.
¿Cuáles son sus coordenadas?
¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?
f(x)= 2 x2 + x = (x + 1)2 - 1

El punto rojo se llama vértice de la parábola.
¿Cuáles son sus coordenadas?
¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?
f(x)= 2 x - x2 = 1 - (x - 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola.
¿Cuáles son sus coordenadas?
¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?
¿Qué significancia tienen los números a, x0, y0 para la gráfica de la función f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)
= 10 + 2 x - 2 x2
21

1

=
- 2 [-(
) + x2]

2

2

Función polinomial
P(x) = x3 - 3x2 + 2x - 7
Función racionalUna función racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)
x + 4
f(x) =

x2 - 16 ¿Qué sucede en los valores de x en los que el denominador es igual a cero?
Función potencia: f(x)= k xnEn donde k es cualquier constante real y n es un número real.
Por lo pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones como xPi serán discutidas más tarde. El dominio de una función potencia depende del exponente n.
f(x)= x-1


f(x)= x1/3


f(x)= x1/2


f(x)= x2/3



Función definida por secciones
No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula. La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable independiente.
En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones.



f(x)={
x2 ,
4 x ,
si 0 <= x <= 5
f(x)={
-x2 ,
si x < 0
3 ,
si 0 <= x < 1
2 x - 1 ,
si x >= 1

ECUACIONES CUADRATICAS

Ecuaciones Cuadráticas

1.- ¿Qué es una ecuación?
2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática?
3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
4.- Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones
6.- Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
1.- ¿Qué es una ecuación?
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:
La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)
Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.
2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.
Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.
4.- Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:
Dos raíces reales distintas
Una raíz real (o dos raíces iguales)
Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:
D = b2 - 4.a.c
Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas
Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.
5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones
A continación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.
5.1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:

=

=


Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:
Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.
Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando X = -2/5, se tiene
Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0
5.2.- Resolver: 6x - x2 = 9
No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: - x2 +6x - 9 = 0. Ahora se identifican letras: a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:
Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raices iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que : 6.3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
5.3.- Resolver: -6x + 13 = - x2
Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 -6x + 13 = 0 ; Identificando letras: a = 1 ; b = -6 ;c = 13. Aplicando la resolvente se tiene:
Oops! El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los números complejos. Sin entrar en detalles que escapan del alcance del presente documento, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números complejos o imagiarios, es decir: . Las raíces quedan entonces:
Separando las dos respúestas, las soluciones serán: X1 = -3 + 2.i ; X2 = -3 - 2.i. La comprobación requeriría operaciones con números complejos en forma binómica. Se deja al lector interesado, investigar y comprobar.
6.- Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
Los siguientes ejercicios son planteamientos que generan una ecuación de segundo grado. Primero debe plantearse la lógica del problema, llamando x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y finalmente, se resuelve la ecuación.
No existe un procedimiento general para manejar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la experiencia va dando la experticia necesaria para plantearlos. El lector interesado puede consultar el libro "Algebra" de Aurelio Baldor, considerado por muchos como la biblia del álgebra.
6.1.- La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números
Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número // Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
10 - x = Segundo número
Merece la pena explicar mejor esto: Si entre su amigo y usted tienen Bs 1000, y su amigo tiene Bs 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1000 - 400 = Bs 600. Si su amigo tiene Bs x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1000 - x
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:
x2 + (10 - x )2 = 58 Esta es la ecuación a resolver
Para resolverla, hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolvente. La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de erradicar, por cierto) que escriban: ( a - b )2 = a2 - b2 , lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: ( a - b )2 = a2 - 2.a.b + b2
Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 - 2.10.x + x 2 = 58 => x2 + 100 - 20.x + x 2 = 58
Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x+ 42 = 0 ; Dividiendo entre 2 toda la ecuación: x2 - 10x+ 21 = 0
Aplicando la resolvente resulta x1 = 3 y x2 = 7. El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades. Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7.
Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es: Los números buscados son 3 y 7.
6.2.- El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
En este caso, si hay diferenciación entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x. Este problema permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Supóngase que:
x = ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que:
x + 3 = largo de la sala. // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x. (x + 3 ) = área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ).(x + 5) = nueva área de la sala
La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:
(x + 3 ).(x + 5) = 2 . x. (x + 3 )
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0
Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver. Se aplica la resolvente y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando las condiciones iniciales, se deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros. Así que el área original era 8m.5m = 40 m2.
6.3.- Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos; se plantea entonces la ecuación:
(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2.3.x + 32 + x2 - 2.4.x + 42 = (2x)2 - 2.(2x).5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25
Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0
Finalmente:-2 x2 + 18x = 0 Esta es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m2. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.
Ejercicios desarrollados, resueltos y revisados por: Carlos E. Utrera, Rev: Junio 2006

COMENTARIO

LA DINAMICA ES AQUELLA QUE TRATA LAS CUSAS QUE PRODUCEN LA RELACION EN VELOCIDAD SUS TRES DIMENSIONES SON FUERZA MASA ACELERACION Y TAMBIEN OTRA PESO

TRABAJO Y ENERGIA

Trabajo y energía

Dinámica
Trabajo y energíaTrabajo y energíaEl péndulo simpleEl muelle elástico (I)El muelle elástico (II)El muelle elástico (III)Partícula unida a
una gomaTrabajo y energía
(el bucle)El péndulo cónicoEquilibrio y
estabilidad (I)Equilibrio y
estabilidad (II)Equilibrio y
estabilidad (III)Equilibrio y
estabilidad (IV)Movimiento sobre
una cicloide (I)Movimiento sobre
cúpula semiesféricaMovimiento sobre
sup. semicircularCarrera de dos
esquiadoresMovimiento sobre
una cicloide (II)Movimiento sobre
una parábola
Concepto de trabajo
Concepto de energía cinética
Fuerza conservativa. Energía potencial
Principio de conservación de la energía
Fuerzas no conservativas
Balance de energía

Concepto de trabajo
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.
Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft·s
Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Concepto de energía cinética
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es

Fuerza conservativa. Energía potencial
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplo
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.
La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.
Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx
Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0
El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x>0, F=-kx
Para x<0, F=kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA a la posición xB es

La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

Principio de conservación de la energía
Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Comprobación del principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular
La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Tomar g=10 m/s2
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
Cuando x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J
Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.

Fuerzas no conservativas
Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.
El peso es una fuerza conservativa.
Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.
WAB=mg x
WBA=-mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa
Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento
WAB=-Fr x
WBA=-Fr x
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero
WABA=-2Fr x

Balance de energía
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.
Ejemplo 1:
Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano

Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J
De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5 m, h=x·sen30º=5.75 m
Cuando el cuerpo desciende
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J
De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 2:
Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial
mat=mg·cosθ-Fr
Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial.
El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es

Para un cálculo explícito del trabajo de la fuerza de rozamiento véase "Movimiento sobre un cúpula semiesférica con rozamiento"

FISICA FUNDAMENTAL DINAMICA

Dinámica
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Para la acepción musical, véase Dinámica (música).
La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema.
El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos.
Contenido[ocultar]
1 Historia
2 Cálculo en dinámica
2.1 Leyes de conservación
2.2 Ecuaciones de movimiento
3 Dinámica de sistemas mecánicos
3.1 Dinámica de la partícula
3.2 Dinámica del sólido rígido
4 Conceptos relacionados con la dinámica
4.1 Inercia
4.2 Trabajo y energía
5 Véase también
//

Historia [editar]
La primera contribución importante se debe a Galileo Galilei. Sus experimentos sobre cuerpos uniformemente acelerados condujeron a Isaac Newton a formular sus leyes fundamentales del movimiento, las cuales presentó en su obra principal Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ("Principios matemáticos de filosofía natural") en 1687.
Los científicos actuales consideran que las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a los tamaños moleculares.
La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar adecuado.

Cálculo en dinámica [editar]
A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas.
El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente auxiliados de las leyes de conservación.

Leyes de conservación [editar]
Artículo principal: ley de conservación
Las leyes de conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué condiciones concretas una determinada magnitud "se conserva" (es decir, permanece constante en valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la ley de conservación de la energía las otras leyes de conservación importante toman la forma de teoremas vectoriales. Estos teoremas son:
El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento.
El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del momento angular.

Ecuaciones de movimiento [editar]
Artículo principal: ecuación de movimiento
existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:
La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia inerciales.
La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.
La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en el las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.
El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.

Dinámica de sistemas mecánicos [editar]
En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de partículas con un número infinito de grados de libertad.
La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un número finito de grados de libertad.

Dinámica de la partícula [editar]
Artículo principal: Dinámica del punto material
La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas

Dinámica del sólido rígido [editar]
Artículo principal: mecánica del sólido rígido
La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Conceptos relacionados con la dinámica [editar]

Inercia [editar]
Artículos principales: inercia y masa inercial
La inercia es la dificultad o resistencia que opone un sistema físico o un sistema social a posibles cambios.
En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia térmica. La primera de ellas aparece en mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa y del tensor de inercia. La inercia térmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia térmica depende de la cantidad de masa y de la capacidad calorífica.
Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes que un observador en un sistema de referencia no-inercial....
La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad (m1 =1):
donde mi es la masa inercial de la partícula i, y ai1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado sólo por partículas i y 1, donde ambas partículas están inicialmente en reposo y a una distancia unidad. No hay fuerzas externas pero las partículas ejercen fuerza las unas en las otras.

Trabajo y energía [editar]
El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía. Este teorema se puede enunciar en versión diferencial o en versión integral. En adelante se hará referencia al Teorema de la energía cinética como TEC.
Gracias al TEC se puede establecer una relación entre la mecánica y las demás

metodo de gauss

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)
Ejemplo :
La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9·2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
Clasificación de los sistemas :
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :
Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución
En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo :

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación :
Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .
Por ejemplo :
Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .
Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación
Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19

COMENTARIO

FISICA MOVIMIENTO PARABOLICO. En nosotros saber efectuar y realizar un tiro cuando lanzamos algo saber cuanto hace al recorrer y llegar al punto es lo mejor ya que podremos hallar distancia altura maxima y mas M.C. E N ESTE MOVIMIENTO SABREMOS LOS TERMINOS QUE DAMOS O QUE SE DAN EN UNA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA HALLANDO CON SUS RESPECTIVAS FORMULAS QUE EN EL AULA FUERON EXPLICADAS

COMENTARIO

Sistemas En las ecuaciones estos sistemas generan una facilidad de efectuar las operaciones ya que se pueden utilizar cualquiera pero lo preferente seria utilizar las tres y mas para ejecutar mas y ejercitar el tema .

3.4 Caída Libre
Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante, al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrio tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo .
Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto fuera posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.


Sin resistencia del aire
Con resistencia del aire
La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.
Caída Libre de un Cuerpo
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo expermientarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía conb la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará positiva hacia arriba, ya con estas coordenadas es posible sustituir x por y. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Información brindada por la ecuación
v = vo - gt
Velocidad como función del tiempo.
y-yo = ½(v + vo)t
Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.
y-yo = vot - ½gt2
Desplazamiento como una función del tiempo.
v2 = vo2 - 2g(y-yo)
Velocidad como una función del desplzamiento.

3.4 Caída Libre
Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante, al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrio tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo .
Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto fuera posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.


Sin resistencia del aire
Con resistencia del aire
La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.
Caída Libre de un Cuerpo
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo expermientarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía conb la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará positiva hacia arriba, ya con estas coordenadas es posible sustituir x por y. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Información brindada por la ecuación
v = vo - gt
Velocidad como función del tiempo.
y-yo = ½(v + vo)t
Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.
y-yo = vot - ½gt2
Desplazamiento como una función deCaída Libre de un Cuerpo
l tiempo.
v2 = vo2 - 2g(y-yo)
Velocidad como una función del desplzamiento.

FISICA FUNDAMENTAL: M.C.U

Movimiento circular
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Movimiento circular
El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Conceptos
1.1 Paralelismo movimiento lineal angular
1.1.1 Arco
1.1.2 Velocidad angular
1.2 Velocidad tangencial
1.2.1 Aceleración angular
2 Periodo y frecuencia
3 Aceleración centrípeta
4 Fuerza centrípeta
5 Véase también
//

Conceptos
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:
Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.
Arco angular: partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián.
Velocidad angular: es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo
En dinámica del movimiento giratorio se tienen en cuenta además:
Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro.
Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro.

Paralelismo movimiento lineal angular
Movimiento
lineal
angular
Posición
Arco
Velocidad
Velocidad angular
Aceleración
Aceleración angular
Masa
Momento de inercia
Fuerza
Momento de fuerza
Momento lineal
Momento angular


A pesar de las diferencias, hay ciertas similitudes entre el movimiento lineal y circular, que son dignos de destacar, y que deja a las luces las similitudes en la estructura y un paralelismo en las magnitudes. Dado un eje de giro y la posición de una partícula en movimiento giratorio, para un instante t, dado, se tiene:

Arco
Arco angular: o posición de ángulo es el arco de circunferencia, medido en radianes, que realiza un movimiento, lo señalaremos con la letra: .
Si llamamos e al desplazamiento lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.

Velocidad angular
Velocidad angular: llamaremos velocidad angular a la variación del arco respecto al tiempo, la señalaremos con la letra , y definiéndose como:


Velocidad tangencial
Es definida como la velocidad real del objeto que efectua el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.

Aceleración angular
Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y la representaremos con la letra: y se calcula:

Si llamamos a a la aceleración lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.

Periodo y frecuencia
El periodo indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo, usualmente segundos. Se mide en hercios o s − 1


Aceleración centrípeta
La aceleración centrípeta afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:


Fuerza centrípeta
Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F=ma) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente fórmula:

FISICA FUNDAMENTAL: Tiro Parabolico

Movimiento Parabólico

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
1. Disparo de proyectiles.
Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.
Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
x=v0·cosθ·ty=v0·senθ·t-gt2/2
Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la tr
.1. Alcance.
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).

1.2. Altura máxima.
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

1.3.Resumen.
Tiempo de vuelo
Alcance máximo
Altura máxima
.4.Tiro parabólico con altura inicial.
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθvy=v0·senθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0·cosθ·ty= h+v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.


Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo.
Alcance de un proyectil para una velocidad inicial de 60 m/s y diversos ángulos de tiroayectoria (ecuación de una parábola)

MATEMATICAS Las matrices

Matriz (matemática)
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En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Definiciones y notaciones
2 Ejemplo
3 Suma de matrices
3.1 Propiedades de la suma de matrices
4 Producto de una matriz por un escalar
4.1 Propiedades del Producto Escalar
5 Producto de matrices
6 División de matrices
7 Inversa de una matriz
8 Clases de matrices
9 Las matrices en la Computación
10 Historia
11 Notas
12 Véase también
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Definiciones y notaciones [editar]
Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de numeros. Los numeros en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Ejemplo [editar]
La matriz

es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

Suma de matrices [editar]
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elemetos homologos de las matrices a sumar. Por ejemplo:


Propiedades de la suma de matrices [editar]
Asociativa
Dadas las matrices m-por-n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m-por-n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0

Producto de una matriz por un escalar [editar]
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:


Propiedades del Producto Escalar [editar]
Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto de matrices [editar]
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.
Por ejemplo:

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas

MATEMATICAS: Sistemas de ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Sustitución
Igualación
Reducción
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Sea el sistema
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x
y=11-3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado
5x-(11-3x)=13
Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos
5x-11+3y=13
5x+3x=13+11
8x=24
x=3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema
y=11-3x
y=11-9
y=2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Sea el sistema
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Igualamos ambas ecuaciones
11-3x=-13+5x
8x=24
x=3
Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y
y=11-9
y=2


RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
Sea el sistema
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
8x=24
x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2

trigonometria

Razones trigonométricas
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.


Teorema de Pitágoras:
"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".
Ejercicios resueltos


S o l u c i o n e s
1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:
2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa encontrar el valor númerico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

Con lo poco que hemos estudiado hasta ahora, estamos capacitados para resolver triángulos rectángulos cuando nos dan el valor de uno de sus ángulos y el de uno de los lados. No obstante

trigonometria

Introducción
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].
Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.