sábado, 19 de julio de 2008
COMENTARIO
FISICA MOVIMIENTO PARABOLICO. En nosotros saber efectuar y realizar un tiro cuando lanzamos algo saber cuanto hace al recorrer y llegar al punto es lo mejor ya que podremos hallar distancia altura maxima y mas M.C. E N ESTE MOVIMIENTO SABREMOS LOS TERMINOS QUE DAMOS O QUE SE DAN EN UNA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA HALLANDO CON SUS RESPECTIVAS FORMULAS QUE EN EL AULA FUERON EXPLICADAS
COMENTARIO
Sistemas En las ecuaciones estos sistemas generan una facilidad de efectuar las operaciones ya que se pueden utilizar cualquiera pero lo preferente seria utilizar las tres y mas para ejecutar mas y ejercitar el tema .
3.4 Caída Libre
Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante, al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrio tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo .
Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto fuera posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.
Sin resistencia del aire
Con resistencia del aire
La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.
Caída Libre de un Cuerpo
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo expermientarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía conb la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará positiva hacia arriba, ya con estas coordenadas es posible sustituir x por y. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Información brindada por la ecuación
v = vo - gt
Velocidad como función del tiempo.
y-yo = ½(v + vo)t
Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.
y-yo = vot - ½gt2
Desplazamiento como una función del tiempo.
v2 = vo2 - 2g(y-yo)
Velocidad como una función del desplzamiento.
Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante, al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrio tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo .
Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto fuera posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.
Sin resistencia del aire
Con resistencia del aire
La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.
Caída Libre de un Cuerpo
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo expermientarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía conb la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará positiva hacia arriba, ya con estas coordenadas es posible sustituir x por y. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Información brindada por la ecuación
v = vo - gt
Velocidad como función del tiempo.
y-yo = ½(v + vo)t
Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.
y-yo = vot - ½gt2
Desplazamiento como una función del tiempo.
v2 = vo2 - 2g(y-yo)
Velocidad como una función del desplzamiento.
3.4 Caída Libre
Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante, al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrio tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo .
Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto fuera posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.
Sin resistencia del aire
Con resistencia del aire
La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.
Caída Libre de un Cuerpo
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo expermientarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía conb la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará positiva hacia arriba, ya con estas coordenadas es posible sustituir x por y. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Información brindada por la ecuación
v = vo - gt
Velocidad como función del tiempo.
y-yo = ½(v + vo)t
Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.
y-yo = vot - ½gt2
Desplazamiento como una función deCaída Libre de un Cuerpo
l tiempo.
v2 = vo2 - 2g(y-yo)
Velocidad como una función del desplzamiento.
Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante, al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrio tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo .
Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto fuera posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.
Sin resistencia del aire
Con resistencia del aire
La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.
Caída Libre de un Cuerpo
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo expermientarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.
Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía conb la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará positiva hacia arriba, ya con estas coordenadas es posible sustituir x por y. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:
Ecuación
Información brindada por la ecuación
v = vo - gt
Velocidad como función del tiempo.
y-yo = ½(v + vo)t
Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.
y-yo = vot - ½gt2
Desplazamiento como una función deCaída Libre de un Cuerpo
l tiempo.
v2 = vo2 - 2g(y-yo)
Velocidad como una función del desplzamiento.
FISICA FUNDAMENTAL: M.C.U
Movimiento circular
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Movimiento circular
El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Conceptos
1.1 Paralelismo movimiento lineal angular
1.1.1 Arco
1.1.2 Velocidad angular
1.2 Velocidad tangencial
1.2.1 Aceleración angular
2 Periodo y frecuencia
3 Aceleración centrípeta
4 Fuerza centrípeta
5 Véase también
//
Conceptos
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:
Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.
Arco angular: partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián.
Velocidad angular: es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo
En dinámica del movimiento giratorio se tienen en cuenta además:
Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro.
Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro.
Paralelismo movimiento lineal angular
Movimiento
lineal
angular
Posición
Arco
Velocidad
Velocidad angular
Aceleración
Aceleración angular
Masa
Momento de inercia
Fuerza
Momento de fuerza
Momento lineal
Momento angular
A pesar de las diferencias, hay ciertas similitudes entre el movimiento lineal y circular, que son dignos de destacar, y que deja a las luces las similitudes en la estructura y un paralelismo en las magnitudes. Dado un eje de giro y la posición de una partícula en movimiento giratorio, para un instante t, dado, se tiene:
Arco
Arco angular: o posición de ángulo es el arco de circunferencia, medido en radianes, que realiza un movimiento, lo señalaremos con la letra: .
Si llamamos e al desplazamiento lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.
Velocidad angular
Velocidad angular: llamaremos velocidad angular a la variación del arco respecto al tiempo, la señalaremos con la letra , y definiéndose como:
Velocidad tangencial
Es definida como la velocidad real del objeto que efectua el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.
Aceleración angular
Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y la representaremos con la letra: y se calcula:
Si llamamos a a la aceleración lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.
Periodo y frecuencia
El periodo indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:
La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo, usualmente segundos. Se mide en hercios o s − 1
Aceleración centrípeta
La aceleración centrípeta afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:
Fuerza centrípeta
Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F=ma) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente fórmula:
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Movimiento circular
El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Conceptos
1.1 Paralelismo movimiento lineal angular
1.1.1 Arco
1.1.2 Velocidad angular
1.2 Velocidad tangencial
1.2.1 Aceleración angular
2 Periodo y frecuencia
3 Aceleración centrípeta
4 Fuerza centrípeta
5 Véase también
//
Conceptos
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:
Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.
Arco angular: partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián.
Velocidad angular: es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo
En dinámica del movimiento giratorio se tienen en cuenta además:
Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro.
Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro.
Paralelismo movimiento lineal angular
Movimiento
lineal
angular
Posición
Arco
Velocidad
Velocidad angular
Aceleración
Aceleración angular
Masa
Momento de inercia
Fuerza
Momento de fuerza
Momento lineal
Momento angular
A pesar de las diferencias, hay ciertas similitudes entre el movimiento lineal y circular, que son dignos de destacar, y que deja a las luces las similitudes en la estructura y un paralelismo en las magnitudes. Dado un eje de giro y la posición de una partícula en movimiento giratorio, para un instante t, dado, se tiene:
Arco
Arco angular: o posición de ángulo es el arco de circunferencia, medido en radianes, que realiza un movimiento, lo señalaremos con la letra: .
Si llamamos e al desplazamiento lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.
Velocidad angular
Velocidad angular: llamaremos velocidad angular a la variación del arco respecto al tiempo, la señalaremos con la letra , y definiéndose como:
Velocidad tangencial
Es definida como la velocidad real del objeto que efectua el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.
Aceleración angular
Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y la representaremos con la letra: y se calcula:
Si llamamos a a la aceleración lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
.
Periodo y frecuencia
El periodo indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:
La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo, usualmente segundos. Se mide en hercios o s − 1
Aceleración centrípeta
La aceleración centrípeta afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:
Fuerza centrípeta
Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F=ma) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente fórmula:
FISICA FUNDAMENTAL: Tiro Parabolico
Movimiento Parabólico
La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
1. Disparo de proyectiles.
Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.
Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
x=v0·cosθ·ty=v0·senθ·t-gt2/2
Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la tr
.1. Alcance.
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).
1.2. Altura máxima.
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
1.3.Resumen.
Tiempo de vuelo
Alcance máximo
Altura máxima
.4.Tiro parabólico con altura inicial.
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθvy=v0·senθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0·cosθ·ty= h+v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo.
Alcance de un proyectil para una velocidad inicial de 60 m/s y diversos ángulos de tiroayectoria (ecuación de una parábola)
La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
1. Disparo de proyectiles.
Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.
Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
x=v0·cosθ·ty=v0·senθ·t-gt2/2
Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la tr
.1. Alcance.
El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).
1.2. Altura máxima.
La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
1.3.Resumen.
Tiempo de vuelo
Alcance máximo
Altura máxima
.4.Tiro parabólico con altura inicial.
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθvy=v0·senθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0·cosθ·ty= h+v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo.
Alcance de un proyectil para una velocidad inicial de 60 m/s y diversos ángulos de tiroayectoria (ecuación de una parábola)
MATEMATICAS Las matrices
Matriz (matemática)
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En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Definiciones y notaciones
2 Ejemplo
3 Suma de matrices
3.1 Propiedades de la suma de matrices
4 Producto de una matriz por un escalar
4.1 Propiedades del Producto Escalar
5 Producto de matrices
6 División de matrices
7 Inversa de una matriz
8 Clases de matrices
9 Las matrices en la Computación
10 Historia
11 Notas
12 Véase también
//
Definiciones y notaciones [editar]
Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de numeros. Los numeros en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
Ejemplo [editar]
La matriz
es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Suma de matrices [editar]
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elemetos homologos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Propiedades de la suma de matrices [editar]
Asociativa
Dadas las matrices m-por-n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m-por-n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0
Producto de una matriz por un escalar [editar]
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:
Propiedades del Producto Escalar [editar]
Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto de matrices [editar]
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas
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En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Definiciones y notaciones
2 Ejemplo
3 Suma de matrices
3.1 Propiedades de la suma de matrices
4 Producto de una matriz por un escalar
4.1 Propiedades del Producto Escalar
5 Producto de matrices
6 División de matrices
7 Inversa de una matriz
8 Clases de matrices
9 Las matrices en la Computación
10 Historia
11 Notas
12 Véase también
//
Definiciones y notaciones [editar]
Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de numeros. Los numeros en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
Ejemplo [editar]
La matriz
es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Suma de matrices [editar]
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elemetos homologos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Propiedades de la suma de matrices [editar]
Asociativa
Dadas las matrices m-por-n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m-por-n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0
Producto de una matriz por un escalar [editar]
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:
Propiedades del Producto Escalar [editar]
Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto de matrices [editar]
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas
MATEMATICAS: Sistemas de ecuaciones
SISTEMAS DE ECUACIONES
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Sustitución
Igualación
Reducción
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Sea el sistema
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x
y=11-3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado
5x-(11-3x)=13
Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos
5x-11+3y=13
5x+3x=13+11
8x=24
x=3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema
y=11-3x
y=11-9
y=2
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Sea el sistema
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Igualamos ambas ecuaciones
11-3x=-13+5x
8x=24
x=3
Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y
y=11-9
y=2
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
Sea el sistema
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
8x=24
x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Sustitución
Igualación
Reducción
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Sea el sistema
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x
y=11-3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado
5x-(11-3x)=13
Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos
5x-11+3y=13
5x+3x=13+11
8x=24
x=3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema
y=11-3x
y=11-9
y=2
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Sea el sistema
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Igualamos ambas ecuaciones
11-3x=-13+5x
8x=24
x=3
Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y
y=11-9
y=2
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
Sea el sistema
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
8x=24
x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2
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