Razones trigonométricas
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
Teorema de Pitágoras:
"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
1. Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:
2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa encontrar el valor númerico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:
Con lo poco que hemos estudiado hasta ahora, estamos capacitados para resolver triángulos rectángulos cuando nos dan el valor de uno de sus ángulos y el de uno de los lados. No obstante
martes, 27 de mayo de 2008
trigonometria
Introducción
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].
Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].
Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.
mruv
Movimiento
Autora: Silvia Sokolovsky
Introducción:
" Imaginemos una novela de misterio perfecta. Este tipo de relato presenta todos los datos y pistas esenciales y nos impulsa a descifrar el misterio por nuestra cuenta", así comienza Albert Einstein su libro La evolución de la física, y resulta válido para introducirnos en el tema. Si bien tu interés se halla muy alejado del que impulsaba al genio del siglo XX, para poder resolver el misterio que se encierra dentro de los problemas tendrás que hacer de detective para encontrar los datos disponibles, hacerlos comprensibles y coherentes por medio del razonamiento. Lo cual a simple vista no resulta tan fácil.
Primeramente, nos introduciremos en el problema del movimiento, sus causas y efectos.
" Nuestro concepto intuitivo del movimiento lo vincula a los actos de empujar, levantar, arrastrar... ...Parece natural inferir (deducir) que, cuanto mayor sea la acción ejercida sobre un cuerpo, tanto mayor será su velocidad ... (imagina empujar un auto, si lo empujan dos personas irá más rápido que si la empuja una) ...El método de razonar dictado por la intuición resultó erróneo y condujo a ideas falsas respecto al movimiento de los cuerpos ".
Supongamos que deseamos patinar sobre el piso, evidentemente recorreremos cierta distancia y después nos detendremos. Si queremos ir más lejos deberemos engrasar o aceitar los ejes de las ruedas de nuestros patines y alisar lo más posible el camino. ¿Qué estamos haciendo realmente? Estamos reduciendo el roce con el piso, la fricción.
Teóricamente si imaginamos un camino perfectamente plano y unos patines con ruedas sin ningún roce, no existiría causa alguna que se opusiera a nuestro movimiento, sería eterno.
Vemos claramente que si no se empuja o arrastra un cuerpo, o sea se le aplica una fuerza externa, este se mueve uniformemente, es decir, con velocidad constante y en línea recta.
"A esta conclusión se ha llegado imaginando un experimento ideal que jamás podrá verificarse, ya que es imposible eliminar toda influencia externa" Einstein era principalmente un físico teórico, pues se imaginaba las experiencias y aplicando leyes físicas conocidas y elementos matemáticos intentaba resolver los problemas que él mismo se planteaba. En tu caso, los problemas serán propuestos por el profesor, pero si a Einstein le sirvió su "técnica", ¿ Por qué no a ti ? ...
En palabras de Einstein: " Todos los movimientos que se observan en la naturaleza - por ejemplo, la caída de una piedra en el aire, un barco surcando el mar, un auto avanzando por la calle - son en realidad muy intrincados (difíciles de comprender). Para entender estos fenómenos es prudente empezar con los ejemplos más simples y pasar gradualmente a los casos más complicados" . Hagámosle caso.
Movimiento :
¿Cómo nos damos cuenta que nos estamos moviendo?.
No toques el mouse (ratón) de tu computadora mientras observas el segundero de tu reloj. A medida que pasa el tiempo el mouse no cambia de posición, pero el segundero si. El mouse está quieto y el segundero está en movimiento. Sencillamente, nos damos cuenta que "algo" se mueve al ver como cambia su posición a medida que transcurre el tiempo.
El movimiento es el cambio de la posición en función del tiempo.
Supongamos que tenemos un cronómetro para medir "ese tiempo", a cada instante podemos designarlo con una letra, usualmente suele utilizarse la letra t. El instante en que comenzamos a medir es el instante cero, así que podemos designarlo como t o (te sub-cero); y asimismo se puede indicar en el subíndice el instante en el que móvil se encuentra. Por ejemplo: si transcurren 5 segundo podemos indicarlo como t5.
Si tomamos dos instantes cualesquiera, la diferencia entre ambos nos indicará el tiempo transcurrido entre ambos instantes: Dt = t - ti (el subíndice i indica que es el instante inicial del intervalo).
Este símbolo D (diferencial) es un elemento matemático que se utiliza para indicar la resta, "diferencia" entre dos valores de una variable.
Si el movimiento es horizontal podemos considerar al piso como si fuera el eje de las abscisas (eje x), de esa manera cada posición se designará con la letra x. La posición correspondiente al instante cero (to) se designa, entonces, como xo . La diferencia entre dos posiciones cualesquiera nos permite calcular el espacio existente entre ellas: Dx = x – xi
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
El movimiento más sencillo es el movimiento en línea recta (lógicamente denominado rectilíneo) Como todo movimiento puede describirse por el espacio que se recorre en unidad de tiempo, supongamos que recorremos siempre la misma cantidad de espacio por cada unidad de tiempo. Imaginemos que por cada segundo recorremos dos metros. En el primer segundo recorremos dos metros, al segundo habremos hecho cuatro, al tercero seis y así sucesivamente...
Para facilitar aún más nuestro estudio imaginemos que partimos de la posición cero en el instante cero. Ubiquemos nuestra suposición en una tabla:
Instante (t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Posición (x)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
El espacio y el tiempo matemáticamente son directamente proporcionales, eso implica que si dividimos cada posición por el instante en que se encuentra nos dará un valor constante.
Físicamente ese valor constante, la razón entre el espacio recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina velocidad.
Así que la velocidad en este tipo de movimiento es constante, como se ve en el gráfico de velocidad en función del tiempo (v(t)) donde está representada la velocidad. Si llevamos a un gráfico la posición a cada instante que está indicada en la tabla, veremos que encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro podemos darnos cuenta de que la posición a cada instante se puede calcular multiplicando ese instante (t) por la velocidad (v), de esa manera tenemos que: x = v . Dt
No tiene por que partirse de cero, así que las distintas posiciones pueden determinarse sumando la posición de donde partimos, posición inicial (xo), y lo que se avanza (Dt.v ).
Supongamos que partimos de la posición 2, la xo = 2 m, como la velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posición anterior:
Instante (t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Posición (x)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la posición inicial (2): matemáticamente la ecuación obtenida es: x = 2Dt + 2. (utilizo las variables indicadas en el gráfico).
De esa manera la ecuación del espacio en función del tiempo que a partir de ahora la llamaremos ecuación horaria, la escribiremos: x = xo + v . Dt
Magnitudes vectoriales y escalares: Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: escalares y vectoriales.
Supongamos que estamos mirando los coches que transitan por una avenida recta, todos los autos tendrán la misma dirección (la calle) pero no tienen que ir hacia un mismo lado, pueden poseer distinto sentido. Es importante en un movimiento indicar la dirección (recta a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemática existe un elemento que indica sentido y dirección además del módulo (cantidad de velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser representada por un vector la llamaremos "magnitud vectorial".
Lo que nos indica la lógica es utilizar el vector para indicar la velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su módulo señala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica encerrando al vector entre dos líneas: v. El módulo siempre es un valor positivo.
Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de las que sólo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo típico:
Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento: Estuvimos hablando de posiciones (x), espacio (Dx) y, aunque no lo nombramos, de desplazamiento. Pero estas tres palabras tienen distinto significado en física. Supongamos que te encuentras en una esquina, ésa será tu posición inicial y para facilitar las cosas desde allí empezaremos a contar por lo que xo = 0 m. Ahora caminas dos cuadras sobre la misma manzana. El espacio recorrido será de 200 m, ya que cada cuadra tiene 100 m, pero el desplazamiento, la línea recta que une ambas posiciones, si aplicamos Pitágoras (ver figura) será de 141,42 m. Es más, si das la vuelta manzana, el espacio recorrido ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo.
El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una magnitud escalar, sólo un número.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V)
Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleración.
Aceleración:
Imaginemos que estamos viajando con una velocidad v y la duplicamos.
Su variación será : Dv = 2v – v = v (1). Esta variación nos lleva un determinado tiempo.
Ahora bien, supongamos que triplicamos la velocidad, la variación será: Dv = 3v – v = 2v (2)
Si comparamos (1) y (2) vemos que la variación de velocidad se ha duplicado. ¿Qué ha ocurrido con el intervalo de tiempo?. Evidentemente necesitamos mayor cantidad de tiempo, exactamente el doble.
Recapitulemos, la variación de la velocidad aumenta al doble y el intervalo de tiempo requerido aumenta en la misma proporción. La explicación es que existe una relación entre ambas variables, son directamente proporcionales. Por lo tanto si las dividimos obtendremos una constante, la razón de proporcionalidad entre ambas es la aceleración.
Hay que remarcar que la relación es entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo NO se relaciona con la velocidad.
Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector
Unidades de la aceleración: Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades.
Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.
También puede expresarse como .
Obtención de la función Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.
En el M.R.U.V. la velocidad varía pero no de cualquier manera, depende de la aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendrá siempre el mismo valor.
Supongamos que la aceleración es de 2 m/s2 cuando partimos de la posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s
Recordemos: xo = 1 m y vo = 1 m/s.
Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.
Primer Intervalo [0, 1]
Segundo Intervalo [1, 2]
Tercero Intervalo [2, 3]
Área = base. Altura
En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura. Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura Þ base = a ; altura = Dt Área = a. Dt
La aceleración determina como varía la velocidad y el área debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo: Área = v; de esta manera tenemos: v = a . Dt
No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula Þ v = vo + a. Dt (Ecuación 1) (Esta ecuación nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.)
Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuación 1.
a
Dt
a Dt
a Dt + vo
v
2
0
2 . 0 = 0
2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1
1
2
1
2 . 1 = 2
2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3
3
2
2
2 . 2 = 4
2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5
5
2
3
2 . 3 = 6
2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7
7
Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por (t; vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en función del tiempo nos da una recta.
Siempre que una variable dependa de una constante dará una recta en su gráfica.
Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.
Nuevamente Dt será la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La vo (velocidad inicial) será la base menor mientras que vt (velocidad instantánea) será la base mayor.
Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración. así el área debajo de la gráfica de vt indica la posición del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posición 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:
v
vo
v + vo
(v + vo):2
Dt
[(v + vo) : 2] . Dt
[(v + vo) : 2] . Dt + xo
xt
1
1
1 + 1 = 2
2 : 2 = 1
0
1 . 0 = 0
0 + 1 =
1
3
1
1 + 3 = 4
4 : 2 = 2
1
2 . 1 = 2
2 + 1 =
3
5
1
1 + 5 = 6
6 : 2 = 3
2
3 . 2 = 6
6 + 1 =
7
7
1
1 + 7 = 8
8 : 2 = 4
3
4 . 3 = 12
12 + 1 =
13
Tomemos los puntos (Dt, x) (columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola.
Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como gráfica.
(no es la ecuación que comúnmente se utiliza para hallar xt, reemplacemos vt por la ecuación 1), tendremos así: (operando matemáticamente)
Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más frecuentemente utilizada para hallar xt. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas: 2. Dx. a = v 2 – vo 2 (Ecuación 3)
Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.
Caída Libre: Presumamos que estamos en lo alto de un puente a 30 metros de altura viendo el agua pasar. Por diversión dejamos caer una piedra y medimos el tiempo de caída con un cronómetro. Cada vez que la soltemos cada piedra trazará un camino recto desde nuestros dedos hasta el agua. No importa cuantas veces hagamos este simple experimento, siempre caerá de la misma manera. Evidentemente la piedra en caída produce un movimiento rectilíneo.
Ahora cabe preguntarnos lo que sucede con la velocidad. Como soltamos la piedra podemos suponer sin temor a equivocarnos que su velocidad inicial es nula. Cuando la velocidad inicial es cero se dice que el cuerpo parte del reposo. Indudablemente la velocidad de la piedra no se mantiene constante, de lo contrario debería flotar cuando la soltamos. Así que queda descartado que el movimiento de caída sea uniforme (M.R.U.). La velocidad cambia, intuitivamente nos damos cuenta que acelera. Con todos estos datos podemos suponer que la caída de cualquier objeto es un movimiento rectilíneo acelerado (M.R.U.V.).
Ya no utilizaremos la denominación "x" para las distintas posiciones que tome el cuerpo a lo largo de su trayectoria, sino que al ser un movimiento vertical, utilizaremos a "y". La posición inicial (la altura desde donde soltamos la piedra) será designada yo, ya que en el instante inicial del movimiento nuestro cronómetro debe estar en cero. de esa manera el espacio recorrido por el cuerpo al caer (los 30 metros) serán designados como Dy (Dy = 30 m.).
Aceleración de la gravedad: Es interesante destacar que cada vez que la piedra cae, tomando el tiempo con nuestro cronómetro, esta tarda 2,47 segundos en tocar la superficie del agua. Para verificar que lo observado no sea efecto del tipo de elemento que dejamos caer, tomemos un papel y hagamos con él un bollo (bien apretado) y dejémoslo caer. Asimismo su caída tardará 2,47 segundos. ¿Cómo es posible?!. Sencillamente, como ya se dijo, la trayectoria de la caída libre es recta, movimiento rectilíneo y la variación de la velocidad que sufren ambos cuerpos es la misma. Tanto la piedra como el papel, arrojados con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, caen mediante un movimiento rectilíneo acelerado.
Hagamos los cálculos para determinar el valor de la aceleración con que caen:
Reemplacemos por el valor de cada dato: vo = 0 m/seg.; Dt = 2,47 seg. y Dy = 30 m.
*
No importa la masa del cuerpo ni la altura desde donde caiga, todo objeto dejado en caída libre experimenta la misma aceleración la que de ahora en adelante la llamaremos aceleración de la gravedad y se la designa con la letra g.
La aceleración de la gravedad, como toda aceleración, es un vector. La dirección de este vector es vertical, y el hecho de que al caer un cuerpo, este se acelere, nos indica que el sentido del vector aceleración de la gravedades hacia "abajo".
La aceleración de la gravedad es la misma para cualquier cuerpo, no importa su masa, desde una misma altura y con una misma velocidad inicial, si dejamos caer una aguja, un balde lleno de arena o un avión, los tres caerán al mismo tiempo y llegarán con la misma velocidad. Nada mejor que la propia experiencia para comprobar que la variación de la velocidad y el tiempo de caída, no dependen del peso del cuerpo sino de la aceleración de la gravedad (g). Cronometra el tiempo en que tardan en caer varios objetos (goma, lápiz, etc) y saca tus propias conclusiones ...
Tiro Vertical: Al tirar una piedra hacia arriba, tenemos dos posibilidades: que la trayectoria sea rectilínea o que no lo sea. Del segundo caso nos ocuparemos al llegar al movimiento en dos dimensiones, mientras tanto razonemos lo que ocurre al tirar "verticalmente" una piedra hacia arriba.
Primeramente analicemos si el tiro vertical es un movimiento acelerado o desacelerado.
La velocidad con que arrojamos verticalmente hacia arriba una piedra, velocidad inicial, tiene que ser distinta de cero, sino caería. El cuerpo va subiendo hasta que se detiene en una posición a la que denominaremos altura máxima (ymax). En esta posición, en la que se detuvo el objeto, la velocidad debe ser cero. Estamos frente a un movimiento desacelerado.
Por comodidad, coloquemos sobre el sentido de la velocidad inicial el signo positivo. Dicho de manera más fácil, la velocidad inicial será siempre positiva, por ende su sentido será positivo. Todo vector que tenga su mismo sentido que la velocidad será positivo y aquel que vaya en sentido contrario será negativo.
Este movimiento es desacelerado, la velocidad y la aceleración tienen distinto sentido, sus signos son opuestos, concluimos entonces que la gravedad tiene signo negativo. g = - 9,8 m/seg2. *
Es importante destacar que cuando la piedra llegue a su altura máxima y comience a caer, el signo de su velocidad (durante la caída) será también negativo.
Así pues, para el tiro vertical y la caída libre puede utilizarse: como ecuación horaria.
* En los problemas, para que resulte más fácil su resolución, utilizaremos como valor de la gravedad " – 10 m/seg2 ".
¿Cómo se resuelve un problema?
Para resolver un problema siempre hay que seguir tres pasos:
1. Buscar los datos del problema y distinguir los que sirven de los que no.
2. Buscar la incógnita, no podemos resolver ningún problema si no tenemos bien en claro lo que se busca.
3. Aplicar las leyes y ecuaciones que concuerden con los datos recogidos.
Ejemplo de cómo se resuelve un problema:
F Un chico deja caer piedritas desde el bacón de su casa. El portero, que esta en la vereda, observa que una de las piedritas tarda 0,2 seg. en pasar frente a la puerta de entrada, que tiene 2m de altura. Con esta información, hallar a que altura del piso parten las piedritas. (sugerencia: tome un sistema de referencia con el origen en el borde superior de la puerta).
El hecho que la puerta tenga 2 m (Dy), la aceleración es la gravedad (que al caer la piedra al piso puede tomarse positiva ya que la velocidad del cuerpo y la gravedad tienen el mismo sentido), con un intervalo de tiempo de 0,2 seg. (Dt). Podemos aplicar la ecuación horaria para calcular la velocidad que tiene al llegar al principio de la puerta (v1)
Para calcular la altura del edificio (desde la puerta hasta la terraza) utilizamos la velocidad inicial (como la deja caer, parte del reposo), la velocidad que acabamos de hallar y la gravedad.
2. g. Dy = v2 – vo2 ® Dy
Autora: Silvia Sokolovsky
Introducción:
" Imaginemos una novela de misterio perfecta. Este tipo de relato presenta todos los datos y pistas esenciales y nos impulsa a descifrar el misterio por nuestra cuenta", así comienza Albert Einstein su libro La evolución de la física, y resulta válido para introducirnos en el tema. Si bien tu interés se halla muy alejado del que impulsaba al genio del siglo XX, para poder resolver el misterio que se encierra dentro de los problemas tendrás que hacer de detective para encontrar los datos disponibles, hacerlos comprensibles y coherentes por medio del razonamiento. Lo cual a simple vista no resulta tan fácil.
Primeramente, nos introduciremos en el problema del movimiento, sus causas y efectos.
" Nuestro concepto intuitivo del movimiento lo vincula a los actos de empujar, levantar, arrastrar... ...Parece natural inferir (deducir) que, cuanto mayor sea la acción ejercida sobre un cuerpo, tanto mayor será su velocidad ... (imagina empujar un auto, si lo empujan dos personas irá más rápido que si la empuja una) ...El método de razonar dictado por la intuición resultó erróneo y condujo a ideas falsas respecto al movimiento de los cuerpos ".
Supongamos que deseamos patinar sobre el piso, evidentemente recorreremos cierta distancia y después nos detendremos. Si queremos ir más lejos deberemos engrasar o aceitar los ejes de las ruedas de nuestros patines y alisar lo más posible el camino. ¿Qué estamos haciendo realmente? Estamos reduciendo el roce con el piso, la fricción.
Teóricamente si imaginamos un camino perfectamente plano y unos patines con ruedas sin ningún roce, no existiría causa alguna que se opusiera a nuestro movimiento, sería eterno.
Vemos claramente que si no se empuja o arrastra un cuerpo, o sea se le aplica una fuerza externa, este se mueve uniformemente, es decir, con velocidad constante y en línea recta.
"A esta conclusión se ha llegado imaginando un experimento ideal que jamás podrá verificarse, ya que es imposible eliminar toda influencia externa" Einstein era principalmente un físico teórico, pues se imaginaba las experiencias y aplicando leyes físicas conocidas y elementos matemáticos intentaba resolver los problemas que él mismo se planteaba. En tu caso, los problemas serán propuestos por el profesor, pero si a Einstein le sirvió su "técnica", ¿ Por qué no a ti ? ...
En palabras de Einstein: " Todos los movimientos que se observan en la naturaleza - por ejemplo, la caída de una piedra en el aire, un barco surcando el mar, un auto avanzando por la calle - son en realidad muy intrincados (difíciles de comprender). Para entender estos fenómenos es prudente empezar con los ejemplos más simples y pasar gradualmente a los casos más complicados" . Hagámosle caso.
Movimiento :
¿Cómo nos damos cuenta que nos estamos moviendo?.
No toques el mouse (ratón) de tu computadora mientras observas el segundero de tu reloj. A medida que pasa el tiempo el mouse no cambia de posición, pero el segundero si. El mouse está quieto y el segundero está en movimiento. Sencillamente, nos damos cuenta que "algo" se mueve al ver como cambia su posición a medida que transcurre el tiempo.
El movimiento es el cambio de la posición en función del tiempo.
Supongamos que tenemos un cronómetro para medir "ese tiempo", a cada instante podemos designarlo con una letra, usualmente suele utilizarse la letra t. El instante en que comenzamos a medir es el instante cero, así que podemos designarlo como t o (te sub-cero); y asimismo se puede indicar en el subíndice el instante en el que móvil se encuentra. Por ejemplo: si transcurren 5 segundo podemos indicarlo como t5.
Si tomamos dos instantes cualesquiera, la diferencia entre ambos nos indicará el tiempo transcurrido entre ambos instantes: Dt = t - ti (el subíndice i indica que es el instante inicial del intervalo).
Este símbolo D (diferencial) es un elemento matemático que se utiliza para indicar la resta, "diferencia" entre dos valores de una variable.
Si el movimiento es horizontal podemos considerar al piso como si fuera el eje de las abscisas (eje x), de esa manera cada posición se designará con la letra x. La posición correspondiente al instante cero (to) se designa, entonces, como xo . La diferencia entre dos posiciones cualesquiera nos permite calcular el espacio existente entre ellas: Dx = x – xi
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
El movimiento más sencillo es el movimiento en línea recta (lógicamente denominado rectilíneo) Como todo movimiento puede describirse por el espacio que se recorre en unidad de tiempo, supongamos que recorremos siempre la misma cantidad de espacio por cada unidad de tiempo. Imaginemos que por cada segundo recorremos dos metros. En el primer segundo recorremos dos metros, al segundo habremos hecho cuatro, al tercero seis y así sucesivamente...
Para facilitar aún más nuestro estudio imaginemos que partimos de la posición cero en el instante cero. Ubiquemos nuestra suposición en una tabla:
Instante (t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Posición (x)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
El espacio y el tiempo matemáticamente son directamente proporcionales, eso implica que si dividimos cada posición por el instante en que se encuentra nos dará un valor constante.
Físicamente ese valor constante, la razón entre el espacio recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina velocidad.
Así que la velocidad en este tipo de movimiento es constante, como se ve en el gráfico de velocidad en función del tiempo (v(t)) donde está representada la velocidad. Si llevamos a un gráfico la posición a cada instante que está indicada en la tabla, veremos que encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro podemos darnos cuenta de que la posición a cada instante se puede calcular multiplicando ese instante (t) por la velocidad (v), de esa manera tenemos que: x = v . Dt
No tiene por que partirse de cero, así que las distintas posiciones pueden determinarse sumando la posición de donde partimos, posición inicial (xo), y lo que se avanza (Dt.v ).
Supongamos que partimos de la posición 2, la xo = 2 m, como la velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posición anterior:
Instante (t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Posición (x)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la posición inicial (2): matemáticamente la ecuación obtenida es: x = 2Dt + 2. (utilizo las variables indicadas en el gráfico).
De esa manera la ecuación del espacio en función del tiempo que a partir de ahora la llamaremos ecuación horaria, la escribiremos: x = xo + v . Dt
Magnitudes vectoriales y escalares: Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: escalares y vectoriales.
Supongamos que estamos mirando los coches que transitan por una avenida recta, todos los autos tendrán la misma dirección (la calle) pero no tienen que ir hacia un mismo lado, pueden poseer distinto sentido. Es importante en un movimiento indicar la dirección (recta a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemática existe un elemento que indica sentido y dirección además del módulo (cantidad de velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser representada por un vector la llamaremos "magnitud vectorial".
Lo que nos indica la lógica es utilizar el vector para indicar la velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su módulo señala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica encerrando al vector entre dos líneas: v. El módulo siempre es un valor positivo.
Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de las que sólo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo típico:
Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento: Estuvimos hablando de posiciones (x), espacio (Dx) y, aunque no lo nombramos, de desplazamiento. Pero estas tres palabras tienen distinto significado en física. Supongamos que te encuentras en una esquina, ésa será tu posición inicial y para facilitar las cosas desde allí empezaremos a contar por lo que xo = 0 m. Ahora caminas dos cuadras sobre la misma manzana. El espacio recorrido será de 200 m, ya que cada cuadra tiene 100 m, pero el desplazamiento, la línea recta que une ambas posiciones, si aplicamos Pitágoras (ver figura) será de 141,42 m. Es más, si das la vuelta manzana, el espacio recorrido ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo.
El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una magnitud escalar, sólo un número.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V)
Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleración.
Aceleración:
Imaginemos que estamos viajando con una velocidad v y la duplicamos.
Su variación será : Dv = 2v – v = v (1). Esta variación nos lleva un determinado tiempo.
Ahora bien, supongamos que triplicamos la velocidad, la variación será: Dv = 3v – v = 2v (2)
Si comparamos (1) y (2) vemos que la variación de velocidad se ha duplicado. ¿Qué ha ocurrido con el intervalo de tiempo?. Evidentemente necesitamos mayor cantidad de tiempo, exactamente el doble.
Recapitulemos, la variación de la velocidad aumenta al doble y el intervalo de tiempo requerido aumenta en la misma proporción. La explicación es que existe una relación entre ambas variables, son directamente proporcionales. Por lo tanto si las dividimos obtendremos una constante, la razón de proporcionalidad entre ambas es la aceleración.
Hay que remarcar que la relación es entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo NO se relaciona con la velocidad.
Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector
Unidades de la aceleración: Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades.
Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.
También puede expresarse como .
Obtención de la función Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.
En el M.R.U.V. la velocidad varía pero no de cualquier manera, depende de la aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendrá siempre el mismo valor.
Supongamos que la aceleración es de 2 m/s2 cuando partimos de la posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s
Recordemos: xo = 1 m y vo = 1 m/s.
Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.
Primer Intervalo [0, 1]
Segundo Intervalo [1, 2]
Tercero Intervalo [2, 3]
Área = base. Altura
En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura. Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura Þ base = a ; altura = Dt Área = a. Dt
La aceleración determina como varía la velocidad y el área debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo: Área = v; de esta manera tenemos: v = a . Dt
No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula Þ v = vo + a. Dt (Ecuación 1) (Esta ecuación nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.)
Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuación 1.
a
Dt
a Dt
a Dt + vo
v
2
0
2 . 0 = 0
2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1
1
2
1
2 . 1 = 2
2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3
3
2
2
2 . 2 = 4
2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5
5
2
3
2 . 3 = 6
2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7
7
Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por (t; vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en función del tiempo nos da una recta.
Siempre que una variable dependa de una constante dará una recta en su gráfica.
Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.
Nuevamente Dt será la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La vo (velocidad inicial) será la base menor mientras que vt (velocidad instantánea) será la base mayor.
Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración. así el área debajo de la gráfica de vt indica la posición del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posición 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:
v
vo
v + vo
(v + vo):2
Dt
[(v + vo) : 2] . Dt
[(v + vo) : 2] . Dt + xo
xt
1
1
1 + 1 = 2
2 : 2 = 1
0
1 . 0 = 0
0 + 1 =
1
3
1
1 + 3 = 4
4 : 2 = 2
1
2 . 1 = 2
2 + 1 =
3
5
1
1 + 5 = 6
6 : 2 = 3
2
3 . 2 = 6
6 + 1 =
7
7
1
1 + 7 = 8
8 : 2 = 4
3
4 . 3 = 12
12 + 1 =
13
Tomemos los puntos (Dt, x) (columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola.
Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como gráfica.
(no es la ecuación que comúnmente se utiliza para hallar xt, reemplacemos vt por la ecuación 1), tendremos así: (operando matemáticamente)
Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más frecuentemente utilizada para hallar xt. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas: 2. Dx. a = v 2 – vo 2 (Ecuación 3)
Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.
Caída Libre: Presumamos que estamos en lo alto de un puente a 30 metros de altura viendo el agua pasar. Por diversión dejamos caer una piedra y medimos el tiempo de caída con un cronómetro. Cada vez que la soltemos cada piedra trazará un camino recto desde nuestros dedos hasta el agua. No importa cuantas veces hagamos este simple experimento, siempre caerá de la misma manera. Evidentemente la piedra en caída produce un movimiento rectilíneo.
Ahora cabe preguntarnos lo que sucede con la velocidad. Como soltamos la piedra podemos suponer sin temor a equivocarnos que su velocidad inicial es nula. Cuando la velocidad inicial es cero se dice que el cuerpo parte del reposo. Indudablemente la velocidad de la piedra no se mantiene constante, de lo contrario debería flotar cuando la soltamos. Así que queda descartado que el movimiento de caída sea uniforme (M.R.U.). La velocidad cambia, intuitivamente nos damos cuenta que acelera. Con todos estos datos podemos suponer que la caída de cualquier objeto es un movimiento rectilíneo acelerado (M.R.U.V.).
Ya no utilizaremos la denominación "x" para las distintas posiciones que tome el cuerpo a lo largo de su trayectoria, sino que al ser un movimiento vertical, utilizaremos a "y". La posición inicial (la altura desde donde soltamos la piedra) será designada yo, ya que en el instante inicial del movimiento nuestro cronómetro debe estar en cero. de esa manera el espacio recorrido por el cuerpo al caer (los 30 metros) serán designados como Dy (Dy = 30 m.).
Aceleración de la gravedad: Es interesante destacar que cada vez que la piedra cae, tomando el tiempo con nuestro cronómetro, esta tarda 2,47 segundos en tocar la superficie del agua. Para verificar que lo observado no sea efecto del tipo de elemento que dejamos caer, tomemos un papel y hagamos con él un bollo (bien apretado) y dejémoslo caer. Asimismo su caída tardará 2,47 segundos. ¿Cómo es posible?!. Sencillamente, como ya se dijo, la trayectoria de la caída libre es recta, movimiento rectilíneo y la variación de la velocidad que sufren ambos cuerpos es la misma. Tanto la piedra como el papel, arrojados con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, caen mediante un movimiento rectilíneo acelerado.
Hagamos los cálculos para determinar el valor de la aceleración con que caen:
Reemplacemos por el valor de cada dato: vo = 0 m/seg.; Dt = 2,47 seg. y Dy = 30 m.
*
No importa la masa del cuerpo ni la altura desde donde caiga, todo objeto dejado en caída libre experimenta la misma aceleración la que de ahora en adelante la llamaremos aceleración de la gravedad y se la designa con la letra g.
La aceleración de la gravedad, como toda aceleración, es un vector. La dirección de este vector es vertical, y el hecho de que al caer un cuerpo, este se acelere, nos indica que el sentido del vector aceleración de la gravedades hacia "abajo".
La aceleración de la gravedad es la misma para cualquier cuerpo, no importa su masa, desde una misma altura y con una misma velocidad inicial, si dejamos caer una aguja, un balde lleno de arena o un avión, los tres caerán al mismo tiempo y llegarán con la misma velocidad. Nada mejor que la propia experiencia para comprobar que la variación de la velocidad y el tiempo de caída, no dependen del peso del cuerpo sino de la aceleración de la gravedad (g). Cronometra el tiempo en que tardan en caer varios objetos (goma, lápiz, etc) y saca tus propias conclusiones ...
Tiro Vertical: Al tirar una piedra hacia arriba, tenemos dos posibilidades: que la trayectoria sea rectilínea o que no lo sea. Del segundo caso nos ocuparemos al llegar al movimiento en dos dimensiones, mientras tanto razonemos lo que ocurre al tirar "verticalmente" una piedra hacia arriba.
Primeramente analicemos si el tiro vertical es un movimiento acelerado o desacelerado.
La velocidad con que arrojamos verticalmente hacia arriba una piedra, velocidad inicial, tiene que ser distinta de cero, sino caería. El cuerpo va subiendo hasta que se detiene en una posición a la que denominaremos altura máxima (ymax). En esta posición, en la que se detuvo el objeto, la velocidad debe ser cero. Estamos frente a un movimiento desacelerado.
Por comodidad, coloquemos sobre el sentido de la velocidad inicial el signo positivo. Dicho de manera más fácil, la velocidad inicial será siempre positiva, por ende su sentido será positivo. Todo vector que tenga su mismo sentido que la velocidad será positivo y aquel que vaya en sentido contrario será negativo.
Este movimiento es desacelerado, la velocidad y la aceleración tienen distinto sentido, sus signos son opuestos, concluimos entonces que la gravedad tiene signo negativo. g = - 9,8 m/seg2. *
Es importante destacar que cuando la piedra llegue a su altura máxima y comience a caer, el signo de su velocidad (durante la caída) será también negativo.
Así pues, para el tiro vertical y la caída libre puede utilizarse: como ecuación horaria.
* En los problemas, para que resulte más fácil su resolución, utilizaremos como valor de la gravedad " – 10 m/seg2 ".
¿Cómo se resuelve un problema?
Para resolver un problema siempre hay que seguir tres pasos:
1. Buscar los datos del problema y distinguir los que sirven de los que no.
2. Buscar la incógnita, no podemos resolver ningún problema si no tenemos bien en claro lo que se busca.
3. Aplicar las leyes y ecuaciones que concuerden con los datos recogidos.
Ejemplo de cómo se resuelve un problema:
F Un chico deja caer piedritas desde el bacón de su casa. El portero, que esta en la vereda, observa que una de las piedritas tarda 0,2 seg. en pasar frente a la puerta de entrada, que tiene 2m de altura. Con esta información, hallar a que altura del piso parten las piedritas. (sugerencia: tome un sistema de referencia con el origen en el borde superior de la puerta).
El hecho que la puerta tenga 2 m (Dy), la aceleración es la gravedad (que al caer la piedra al piso puede tomarse positiva ya que la velocidad del cuerpo y la gravedad tienen el mismo sentido), con un intervalo de tiempo de 0,2 seg. (Dt). Podemos aplicar la ecuación horaria para calcular la velocidad que tiene al llegar al principio de la puerta (v1)
Para calcular la altura del edificio (desde la puerta hasta la terraza) utilizamos la velocidad inicial (como la deja caer, parte del reposo), la velocidad que acabamos de hallar y la gravedad.
2. g. Dy = v2 – vo2 ® Dy
FISICA FUNDAMENTAL
Constante física fundamental
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Una constante física fundamental es una constante física adimensional y que por tanto toma el mismo valor en cualquier sistema de unidades. Eso hace de estas constantes físicas las únicas constantes estrictamente universales (aunque a veces se aplica el término constante fundamental a constantes físicas que no son estrictamente universales y dependen del tipo de sistema de unidades elegidas).
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Diferencia entre las constantes físicas y las constantes matemáticas
2 El problema del número de constantes físicas fundamentales
3 Ejemplos de constantes físicas fundamentales
4 Enlaces exteriores
//
Diferencia entre las constantes físicas y las constantes matemáticas [editar]
Aunque tanto las constantes matemáticas como las constantes físicas fundamentales son adimensionales y por tanto independientes del sistema de unidades, las segundas se diferencian de las primeras en que sólo pueden ser determinadas mediante experimento y no pueden ser expresadas en términos de constantes matemáticas.
El problema del número de constantes físicas fundamentales [editar]
El número de constantes físicas fundamentales independientes refleja los avances científicos, así ciertos avances de la física teórica han demostrado que ciertas constantes fundamentales son realmente combinaciones de otras constantes físicas y por tanto estos avances han reducido el número de constantes físicas. Por otra parte la lista de constantes fundamentales crece cuando un nuevo experimento encuentra una relación nueva entre fenómenos físicos. El número de constantes físicas fundamentales independientes es una cuestión abierta.
Los físicos se esfuerzan en establecer teorías más elegantes que puedan reducir los fenómenos observados a fenómenos previamente conocidos, en ocasiones esos trabajos teóricos muestran que es posible reducir el número de principios y constantes fundamentales necesarias para explicar los fenómenos. El número de constantes físicas depende del sistema de unidades, por esa razón los físicos teóricos suelen emplear el sistema de unidades natural (o sistema de unidades de Planck) donde el número de constantes físicas es mínimo, ya que las únicas constantes físicas que aparecen en unidades naturales son precisamente las constantes físicas fundamentales. Además en los sistemas de unidades naturales todas las magnitudes físicas resultan ser adimensionales.
En el estado actual de conocimiento, después del descubrimiento de que los neutrinos están dotados de masa y dejando de lado el ángulo θ, John Baez (2002) queda claro que el modelo estándar requiere 25 constantes fundamentales para explicar los fenómenos físicos, concretamente:
La constante de estructura fina.
La constante de acoplamiento fuerte.
El cociente entre la masa varias partículas fundamentales expresados y la masa de Planck: seis cocientes para las masas para los seis tipos de quark (u, d, c, s, t, b), seis cocientes para las masas para los leptones (e, μ, τ, νe, νμ, ντ), un cociente para el bosón de Higgs, y dos cocientes más para los bosones másicos de la teoría electrodébil (W, Z).
Los cuatro parámetros de la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa, que describe como los quarks pueden "oscilar" entre las diferentes variedades.
Otros cuatro parámetros de la matriz de Maki-Nakagawa-Sakata, que describe lo mismo para los neutrinos.
Ejemplos de constantes físicas fundamentales [editar]
La constante de estructura fina es el ejemplo más conocido de constante fundamental, esta constante interviene en determinar la magnitud de la interacción electromagnética entre fermiones y fotones, en términos sencillos, la constante de estructura fina determina lo fuerte que es la interacción electromagnética, comparada con otras. Actualmente ningua teoría de aceptación general explica porqué toma el valor que toma. Su valor experimental es:
Donde es la carga del electrón, es la constante de Planck racionalidada, es la velocidad de la luz en el vacío, y es la permitividad del vacío.
Enlaces exteriores [editar]
Generales
Constantes físicas fundamentales en NIST
John Baez, 2002, "How Many Fundamental Constants Are There?".
Simon Plouffe. "A search for a mathematical expression for mass ratios using a large database."
Values of fundamental constants. CODATA, 2002.
Variabilidad de las constantes físicas fundamentales
"Michael Murphy's Research". Institute of astronomy, University of Cambridge.
Webb, John K., "Do the laws of Nature change with time?". The University of New South Wales, Australia.
Artículos
Bahcall, J.N., C L Steinhardt, and D Schlegel, 2004 "Does the fine-structure constant vary with cosmological epoch?" Astrophys. J. 600: 520.
Martins, J.A.P. et al., 2004, "WMAP constraints on varying α and the promise of reionization," Phys.Lett. B585: 29-34.
Marion, H., et al. 2003, "A search for variations of fundamental constants using atomic fountain clocks," Phys.Rev.Lett. 90: 150801.
Olive, K.A., et al., 2002, "Constraints on the variations of the fundamental couplings," Phys.Rev. D66: 045022.
Uzan, J-P, 2003, "The fundamental constants and their variation: observational status and theoretical motivations," Rev.Mod.Phys. 75: 403.
Webb, J.K. et al., 2001, "Further evidence for cosmological evolution of the fine-structure constant," Phys. Rev. Lett. 87: 091301.
Scientific American Magazine (June 2005 Issue) Inconstant Constants - Do the inner workings of nature change with time?
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_f%C3%ADsica_fundamental"
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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Una constante física fundamental es una constante física adimensional y que por tanto toma el mismo valor en cualquier sistema de unidades. Eso hace de estas constantes físicas las únicas constantes estrictamente universales (aunque a veces se aplica el término constante fundamental a constantes físicas que no son estrictamente universales y dependen del tipo de sistema de unidades elegidas).
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Diferencia entre las constantes físicas y las constantes matemáticas
2 El problema del número de constantes físicas fundamentales
3 Ejemplos de constantes físicas fundamentales
4 Enlaces exteriores
//
Diferencia entre las constantes físicas y las constantes matemáticas [editar]
Aunque tanto las constantes matemáticas como las constantes físicas fundamentales son adimensionales y por tanto independientes del sistema de unidades, las segundas se diferencian de las primeras en que sólo pueden ser determinadas mediante experimento y no pueden ser expresadas en términos de constantes matemáticas.
El problema del número de constantes físicas fundamentales [editar]
El número de constantes físicas fundamentales independientes refleja los avances científicos, así ciertos avances de la física teórica han demostrado que ciertas constantes fundamentales son realmente combinaciones de otras constantes físicas y por tanto estos avances han reducido el número de constantes físicas. Por otra parte la lista de constantes fundamentales crece cuando un nuevo experimento encuentra una relación nueva entre fenómenos físicos. El número de constantes físicas fundamentales independientes es una cuestión abierta.
Los físicos se esfuerzan en establecer teorías más elegantes que puedan reducir los fenómenos observados a fenómenos previamente conocidos, en ocasiones esos trabajos teóricos muestran que es posible reducir el número de principios y constantes fundamentales necesarias para explicar los fenómenos. El número de constantes físicas depende del sistema de unidades, por esa razón los físicos teóricos suelen emplear el sistema de unidades natural (o sistema de unidades de Planck) donde el número de constantes físicas es mínimo, ya que las únicas constantes físicas que aparecen en unidades naturales son precisamente las constantes físicas fundamentales. Además en los sistemas de unidades naturales todas las magnitudes físicas resultan ser adimensionales.
En el estado actual de conocimiento, después del descubrimiento de que los neutrinos están dotados de masa y dejando de lado el ángulo θ, John Baez (2002) queda claro que el modelo estándar requiere 25 constantes fundamentales para explicar los fenómenos físicos, concretamente:
La constante de estructura fina.
La constante de acoplamiento fuerte.
El cociente entre la masa varias partículas fundamentales expresados y la masa de Planck: seis cocientes para las masas para los seis tipos de quark (u, d, c, s, t, b), seis cocientes para las masas para los leptones (e, μ, τ, νe, νμ, ντ), un cociente para el bosón de Higgs, y dos cocientes más para los bosones másicos de la teoría electrodébil (W, Z).
Los cuatro parámetros de la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa, que describe como los quarks pueden "oscilar" entre las diferentes variedades.
Otros cuatro parámetros de la matriz de Maki-Nakagawa-Sakata, que describe lo mismo para los neutrinos.
Ejemplos de constantes físicas fundamentales [editar]
La constante de estructura fina es el ejemplo más conocido de constante fundamental, esta constante interviene en determinar la magnitud de la interacción electromagnética entre fermiones y fotones, en términos sencillos, la constante de estructura fina determina lo fuerte que es la interacción electromagnética, comparada con otras. Actualmente ningua teoría de aceptación general explica porqué toma el valor que toma. Su valor experimental es:
Donde es la carga del electrón, es la constante de Planck racionalidada, es la velocidad de la luz en el vacío, y es la permitividad del vacío.
Enlaces exteriores [editar]
Generales
Constantes físicas fundamentales en NIST
John Baez, 2002, "How Many Fundamental Constants Are There?".
Simon Plouffe. "A search for a mathematical expression for mass ratios using a large database."
Values of fundamental constants. CODATA, 2002.
Variabilidad de las constantes físicas fundamentales
"Michael Murphy's Research". Institute of astronomy, University of Cambridge.
Webb, John K., "Do the laws of Nature change with time?". The University of New South Wales, Australia.
Artículos
Bahcall, J.N., C L Steinhardt, and D Schlegel, 2004 "Does the fine-structure constant vary with cosmological epoch?" Astrophys. J. 600: 520.
Martins, J.A.P. et al., 2004, "WMAP constraints on varying α and the promise of reionization," Phys.Lett. B585: 29-34.
Marion, H., et al. 2003, "A search for variations of fundamental constants using atomic fountain clocks," Phys.Rev.Lett. 90: 150801.
Olive, K.A., et al., 2002, "Constraints on the variations of the fundamental couplings," Phys.Rev. D66: 045022.
Uzan, J-P, 2003, "The fundamental constants and their variation: observational status and theoretical motivations," Rev.Mod.Phys. 75: 403.
Webb, J.K. et al., 2001, "Further evidence for cosmological evolution of the fine-structure constant," Phys. Rev. Lett. 87: 091301.
Scientific American Magazine (June 2005 Issue) Inconstant Constants - Do the inner workings of nature change with time?
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_f%C3%ADsica_fundamental"
ecuaciones
RESOLUCION DE ECUACIONES CON NUMEROS ENTEROS.
Una ecuación es una expresión matemática relacionada con el signo = en la cual hay letras que se llaman incógnitas y el objetivo es hallar un valor para esa incógnita que haga que se cumpla la condición de igualdad.
POR EJEMPLO:
x + 5 = 0
Hay que buscar un valor para la incógnita. Las incógnitas se pueden expresar mediante cualquier letra, generalmente se usa la X, Y, ó Z.
Dicho valor es:
x = -5
porque si reemplazo a la x por -5 quedaría :
-5 + 5 = 0
Cuando x = -5 se cumple la igualdad si, por ejemplo, hubiese puesto x = -4 no se cumpliría:
-4 + 5 = 0
1 = 0 NO SE CUMPLE LA IGUALDAD
Se dice entonces que la solución para la ecuación x + 5 = 0 es: x = -5
Ecuaciones equivalentes:
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, por ejemplo: 5x=4x+3; es equivalente a 5x-4x=3; pues si reemplazamos a ambas por x=3, comprobaremos que se cumplen, ambas igualdades, veamos para la primera:
Para la segunda:
Las ecuaciones sencillas se resuelven transformándolas en otras equivalentes, por consecuencia de la ley de uniformidad de las operaciones con números enteros, que no explicaremos en este apunte, simplemente daremos unas cuantas reglas prácticas para resolver ecuaciones.
REGLA PRACTICA:
Para poder encontrar la solución de una ecuación se hace lo que se llama despejar la x o sea dejar a la misma sola de un miembro de la igualdad.
A) Cuando la x está acompañada por números que están sumando o restando entonces los mismos pasan al otro miembro con la operación inversa con la que operan.
EJEMPLO 1 :
x + 4 = 2 Pasamos el 4 al otro miembro de la igualad pero como está sumando lo pasamos restando.
x = 2 - 4 Hacemos la cuenta y nos queda
x = -2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 + 4 = 2
2 = 2
EJEMPLO 2 :
x + 2 - 3 = 4 + 5 Pasamos el 2 que como está sumando pasa restando
x - 3 = 4 + 5 - 2 Pasamos el 3 que como está restando pasa sumando
x = 4 + 5 - 2 + 3 Hacemos la cuenta
x = 10
Verificación:
Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado
10 + 2 - 3 = 4 + 5
9 = 9 Queda verificada la solución.
EJERCITACION:
1) 3 + 2 - 5 + x = 2 + 1 - 3 x = 0
2) -2 + 6 -12 = x + 5 - 1 x = -12
3) 2 + 6 - 1 = x + 6 - 4 x = 5
4) -5 - 6 + x = 5 - 8 + 3 x = 11
5) 6 - 9 + x + 9 = 2 - 6 x = -10
6) 6 - 9 - 3 = 4 + x +3 - 5 x = -8
7) 2 + 5 - 9 = 2 + x - 6 - 8 x = 10
8) 2 + 9 + 6 - 9 = x + 3 - 5 x = 10
9) 9 - 5 + 6 +x = -5 -9 +3 x = -21
B) Cuando la incógnita es multiplicada o dividida por un número, el mismo pasa al otro miembro con la operación inversa o sea si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.
EJEMPLO 1:
2 x = 4 Pasamos el 2 dividiendo
x = 4 : 2 resuelvo
x = 2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
2 . 2 = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 2:
-2 x = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa dividiendo con su signo porque está multiplicando y la operación inversa es la división.
x = 4 : (-2) resuelvo
x = -2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 3:
x : 2 = 4 Pasamos el 2 multiplicando
x = 4 . 2 resuelvo
x = 8
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
8 : 2 = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 4:
x : (-2) = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa multiplicando con su signo porque está dividiendo y la operación inversa es la multiplicación
x = 4 . (-2) resuelvo
x = -8
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-8 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica
Ejercitacion:
1) 2 x = -4
2) x : (-3) = 6
3) -3. x = 18
4) x .(-4) = 16
5) x : (-5) = -4
6) 3 x = 9
7) 5 x = 25
x = -2
x = -18
x = -6
x = -2
x = 20
x = 3
x = 5
C) Cuando la incógnita está siendo multiplicada y dividida por un número y además sumada o restada por otros, primero se pasan los números que suman o restan y después los que multiplican o dividen.
EJEMPLO 1:
2x + 3 - 1 = 6 Pasamos el 3 restando y el 1 sumando
2x = 6 - 3 + 1 Resuelvo
2x = 4 El 2 pasa dividiendo
x = 4 : 2
x = 2
Verificación:
Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado
2 . 2 + 3 - 1 = 6
4 + 3 - 1 = 6
6 = 6 Queda verificada la solución.
D) Cuando en la ecuación hay varias incógnitas multiplicadas o divididas por un número de un miembro de la igualdad y del otro, acompañados con sumas o restas de números. Se separan en términos de ambos lados de la igualdad, y se transponen a un miembro de la igualdad, los números que multiplican a la incógnita, y al otro, los números solos. Ejemplo:
Primer paso, separo en términos:
El 2 y el 3 que son positivos en el primer miembro de la igualdad, los paso restando, al segundo:
El 5x que es negativo en el segundo miembro, lo paso positivo al primero:
Sumo las x del primer miembro, y los números del segundo:
Luego el 3 lo paso dividiendo, y me queda x=6/3; x=2
Comprobación:
volver
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones y corroborar la solución encontrada:
1) 4x-2=10 2) 6x-3=x+17 3) 2x+5=3
4) 7x=4x+6 5) 2x=9+x 6) 6x=24-2x
7) 10=15-5x 8) x-8=4-x 9) 3x-10=18-x
10) 7x-8=3x+4 11) 2-3x-5=5-8x+x 12) x+2=3-2x+8
RESPUESTAS
1) x=3 2) x=4 3) x=-1
4) x=2 5) x=9 6) x=3
7) x=1 8) x=6 9) x=7
10) x=3 11) x=2 12) x=3
Una ecuación es una expresión matemática relacionada con el signo = en la cual hay letras que se llaman incógnitas y el objetivo es hallar un valor para esa incógnita que haga que se cumpla la condición de igualdad.
POR EJEMPLO:
x + 5 = 0
Hay que buscar un valor para la incógnita. Las incógnitas se pueden expresar mediante cualquier letra, generalmente se usa la X, Y, ó Z.
Dicho valor es:
x = -5
porque si reemplazo a la x por -5 quedaría :
-5 + 5 = 0
Cuando x = -5 se cumple la igualdad si, por ejemplo, hubiese puesto x = -4 no se cumpliría:
-4 + 5 = 0
1 = 0 NO SE CUMPLE LA IGUALDAD
Se dice entonces que la solución para la ecuación x + 5 = 0 es: x = -5
Ecuaciones equivalentes:
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, por ejemplo: 5x=4x+3; es equivalente a 5x-4x=3; pues si reemplazamos a ambas por x=3, comprobaremos que se cumplen, ambas igualdades, veamos para la primera:
Para la segunda:
Las ecuaciones sencillas se resuelven transformándolas en otras equivalentes, por consecuencia de la ley de uniformidad de las operaciones con números enteros, que no explicaremos en este apunte, simplemente daremos unas cuantas reglas prácticas para resolver ecuaciones.
REGLA PRACTICA:
Para poder encontrar la solución de una ecuación se hace lo que se llama despejar la x o sea dejar a la misma sola de un miembro de la igualdad.
A) Cuando la x está acompañada por números que están sumando o restando entonces los mismos pasan al otro miembro con la operación inversa con la que operan.
EJEMPLO 1 :
x + 4 = 2 Pasamos el 4 al otro miembro de la igualad pero como está sumando lo pasamos restando.
x = 2 - 4 Hacemos la cuenta y nos queda
x = -2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 + 4 = 2
2 = 2
EJEMPLO 2 :
x + 2 - 3 = 4 + 5 Pasamos el 2 que como está sumando pasa restando
x - 3 = 4 + 5 - 2 Pasamos el 3 que como está restando pasa sumando
x = 4 + 5 - 2 + 3 Hacemos la cuenta
x = 10
Verificación:
Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado
10 + 2 - 3 = 4 + 5
9 = 9 Queda verificada la solución.
EJERCITACION:
1) 3 + 2 - 5 + x = 2 + 1 - 3 x = 0
2) -2 + 6 -12 = x + 5 - 1 x = -12
3) 2 + 6 - 1 = x + 6 - 4 x = 5
4) -5 - 6 + x = 5 - 8 + 3 x = 11
5) 6 - 9 + x + 9 = 2 - 6 x = -10
6) 6 - 9 - 3 = 4 + x +3 - 5 x = -8
7) 2 + 5 - 9 = 2 + x - 6 - 8 x = 10
8) 2 + 9 + 6 - 9 = x + 3 - 5 x = 10
9) 9 - 5 + 6 +x = -5 -9 +3 x = -21
B) Cuando la incógnita es multiplicada o dividida por un número, el mismo pasa al otro miembro con la operación inversa o sea si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.
EJEMPLO 1:
2 x = 4 Pasamos el 2 dividiendo
x = 4 : 2 resuelvo
x = 2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
2 . 2 = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 2:
-2 x = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa dividiendo con su signo porque está multiplicando y la operación inversa es la división.
x = 4 : (-2) resuelvo
x = -2
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 3:
x : 2 = 4 Pasamos el 2 multiplicando
x = 4 . 2 resuelvo
x = 8
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
8 : 2 = 4
4 = 4 Se verifica
EJEMPLO 4:
x : (-2) = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa multiplicando con su signo porque está dividiendo y la operación inversa es la multiplicación
x = 4 . (-2) resuelvo
x = -8
Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-8 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica
Ejercitacion:
1) 2 x = -4
2) x : (-3) = 6
3) -3. x = 18
4) x .(-4) = 16
5) x : (-5) = -4
6) 3 x = 9
7) 5 x = 25
x = -2
x = -18
x = -6
x = -2
x = 20
x = 3
x = 5
C) Cuando la incógnita está siendo multiplicada y dividida por un número y además sumada o restada por otros, primero se pasan los números que suman o restan y después los que multiplican o dividen.
EJEMPLO 1:
2x + 3 - 1 = 6 Pasamos el 3 restando y el 1 sumando
2x = 6 - 3 + 1 Resuelvo
2x = 4 El 2 pasa dividiendo
x = 4 : 2
x = 2
Verificación:
Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado
2 . 2 + 3 - 1 = 6
4 + 3 - 1 = 6
6 = 6 Queda verificada la solución.
D) Cuando en la ecuación hay varias incógnitas multiplicadas o divididas por un número de un miembro de la igualdad y del otro, acompañados con sumas o restas de números. Se separan en términos de ambos lados de la igualdad, y se transponen a un miembro de la igualdad, los números que multiplican a la incógnita, y al otro, los números solos. Ejemplo:
Primer paso, separo en términos:
El 2 y el 3 que son positivos en el primer miembro de la igualdad, los paso restando, al segundo:
El 5x que es negativo en el segundo miembro, lo paso positivo al primero:
Sumo las x del primer miembro, y los números del segundo:
Luego el 3 lo paso dividiendo, y me queda x=6/3; x=2
Comprobación:
volver
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones y corroborar la solución encontrada:
1) 4x-2=10 2) 6x-3=x+17 3) 2x+5=3
4) 7x=4x+6 5) 2x=9+x 6) 6x=24-2x
7) 10=15-5x 8) x-8=4-x 9) 3x-10=18-x
10) 7x-8=3x+4 11) 2-3x-5=5-8x+x 12) x+2=3-2x+8
RESPUESTAS
1) x=3 2) x=4 3) x=-1
4) x=2 5) x=9 6) x=3
7) x=1 8) x=6 9) x=7
10) x=3 11) x=2 12) x=3
ecuaciones
Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejercicio resuelto
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.Recuerda:Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.
Ecuación simple
Ecuación con paréntesis
Ecuación con denominadores
¡¡Resuelve esta ecuación !!
Solución:
Ejercicio resuelto
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.Recuerda:Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando.
Ecuación simple
Ecuación con paréntesis
Ecuación con denominadores
¡¡Resuelve esta ecuación !!
Solución:
COMENTARIO
FISICA ES UNA CIENCIA QUE ESTUIA CARACTERISTICAS DE LOS FENOMENOS DE NUESTRO AMBIENTE . En ella nos centramos ella y la nasa nos dan informaciones de que hay cierto fenomeno encontado es por ella necesitaria estudiar mas para expander lo de fisica e cierta manera los cientificos tenian oy tienen tanto intelecto para experimentar y centrar en evolucionar cosas que para el mundo sea util al realizar graficas vemos cuanto tiempo tarda un auto cuanto recorre tc el tiempo nos sirve tanto la fisica ya con ella podriamos ctreo hasta saber cuantos pasos damos en un dia en que tiempo etc. MATEMATICA ES AQUELLA EN LA CUAL SABEMOS CALCUAR LO QUE COMPRAMOS. ECUACIONES SON UNOS TERMINOS CON EL FIN DE ENCONTRAR UN VALOR EN X O UNA INCOGNITA
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