FUNCIONES

GRAFICA DE FUNCIONES



Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Ejemplo para discusión:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:





Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:





Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplos:

1)

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

2)

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

3)
GRAFICA DE FUNCIONES







Dominio y recorrido


El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).



Ejemplo para discusión:



Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:












Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:












Funciones crecientes, decrecientes y constantes


Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.



Ejemplos:



1)


La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.



2)


La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.



3)


La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.



4)


La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.





Función constante


Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.



Ejemplo:






En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.





Función identidad


La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.










Función lineal




Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.



Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).







Ejemplo:








En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4).



Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica.



Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.







Función cuadrática


Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:









f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba.








f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo.





Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.





Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:

1) f(x) = x2 - 2x - 3

2) g(x) = -x2 - 2x + 3



Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica.





Función valor absoluto


La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:










Función dominio partido


Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:







La gráfica de esta función es:





































El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.





Función radical


La función es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:






Su dominio es [0, ¥) y el recorrido es [0, ¥).




La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

4)

La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.


Función constante

Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.

Ejemplo:


En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.


Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.




Función lineal


Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.

Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).



Ejemplo:



En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4).

Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica.

Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.



Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:




f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba.



f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo.


Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.


Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:
1) f(x) = x2 - 2x - 3
2) g(x) = -x2 - 2x + 3

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica.


Función valor absoluto

La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:




Función dominio partido

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:



La gráfica de esta función es:

















El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.


Función radical

La función es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:


Su dominio es [0, ¥) y el recorrido es [0, ¥).