ecuaciones

RESOLUCION DE ECUACIONES CON NUMEROS ENTEROS.
Una ecuación es una expresión matemática relacionada con el signo = en la cual hay letras que se llaman incógnitas y el objetivo es hallar un valor para esa incógnita que haga que se cumpla la condición de igualdad.

POR EJEMPLO:
x + 5 = 0

Hay que buscar un valor para la incógnita. Las incógnitas se pueden expresar mediante cualquier letra, generalmente se usa la X, Y, ó Z.

Dicho valor es:
x = -5

porque si reemplazo a la x por -5 quedaría :

-5 + 5 = 0

Cuando x = -5 se cumple la igualdad si, por ejemplo, hubiese puesto x = -4 no se cumpliría:

-4 + 5 = 0
1 = 0 NO SE CUMPLE LA IGUALDAD

Se dice entonces que la solución para la ecuación x + 5 = 0 es: x = -5

Ecuaciones equivalentes:

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, por ejemplo: 5x=4x+3; es equivalente a 5x-4x=3; pues si reemplazamos a ambas por x=3, comprobaremos que se cumplen, ambas igualdades, veamos para la primera:


Para la segunda:


Las ecuaciones sencillas se resuelven transformándolas en otras equivalentes, por consecuencia de la ley de uniformidad de las operaciones con números enteros, que no explicaremos en este apunte, simplemente daremos unas cuantas reglas prácticas para resolver ecuaciones.

REGLA PRACTICA:
Para poder encontrar la solución de una ecuación se hace lo que se llama despejar la x o sea dejar a la misma sola de un miembro de la igualdad.

A) Cuando la x está acompañada por números que están sumando o restando entonces los mismos pasan al otro miembro con la operación inversa con la que operan.


EJEMPLO 1 :

x + 4 = 2 Pasamos el 4 al otro miembro de la igualad pero como está sumando lo pasamos restando.
x = 2 - 4 Hacemos la cuenta y nos queda
x = -2

Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 + 4 = 2
2 = 2

EJEMPLO 2 :

x + 2 - 3 = 4 + 5 Pasamos el 2 que como está sumando pasa restando
x - 3 = 4 + 5 - 2 Pasamos el 3 que como está restando pasa sumando
x = 4 + 5 - 2 + 3 Hacemos la cuenta
x = 10

Verificación:

Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado

10 + 2 - 3 = 4 + 5
9 = 9 Queda verificada la solución.


EJERCITACION:

1) 3 + 2 - 5 + x = 2 + 1 - 3 x = 0

2) -2 + 6 -12 = x + 5 - 1 x = -12

3) 2 + 6 - 1 = x + 6 - 4 x = 5

4) -5 - 6 + x = 5 - 8 + 3 x = 11

5) 6 - 9 + x + 9 = 2 - 6 x = -10

6) 6 - 9 - 3 = 4 + x +3 - 5 x = -8

7) 2 + 5 - 9 = 2 + x - 6 - 8 x = 10

8) 2 + 9 + 6 - 9 = x + 3 - 5 x = 10

9) 9 - 5 + 6 +x = -5 -9 +3 x = -21

B) Cuando la incógnita es multiplicada o dividida por un número, el mismo pasa al otro miembro con la operación inversa o sea si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.

EJEMPLO 1:
2 x = 4 Pasamos el 2 dividiendo
x = 4 : 2 resuelvo
x = 2

Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
2 . 2 = 4
4 = 4 Se verifica

EJEMPLO 2:

-2 x = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa dividiendo con su signo porque está multiplicando y la operación inversa es la división.
x = 4 : (-2) resuelvo
x = -2

Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
-2 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica

EJEMPLO 3:

x : 2 = 4 Pasamos el 2 multiplicando
x = 4 . 2 resuelvo
x = 8

Verificación:
Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad
8 : 2 = 4
4 = 4 Se verifica

EJEMPLO 4:

x : (-2) = 4 ¡¡¡ CUIDADDO !!! El -2 pasa multiplicando con su signo porque está dividiendo y la operación inversa es la multiplicación
x = 4 . (-2) resuelvo
x = -8

Verificación:

Para saber si la solución es la correcta reemplazamos el valor de x en la igualdad

-8 . (-2) = 4
4 = 4 Se verifica

Ejercitacion:
1) 2 x = -4

2) x : (-3) = 6

3) -3. x = 18

4) x .(-4) = 16

5) x : (-5) = -4

6) 3 x = 9

7) 5 x = 25
x = -2

x = -18

x = -6

x = -2

x = 20

x = 3

x = 5

C) Cuando la incógnita está siendo multiplicada y dividida por un número y además sumada o restada por otros, primero se pasan los números que suman o restan y después los que multiplican o dividen.

EJEMPLO 1:

2x + 3 - 1 = 6 Pasamos el 3 restando y el 1 sumando
2x = 6 - 3 + 1 Resuelvo
2x = 4 El 2 pasa dividiendo
x = 4 : 2
x = 2
Verificación:

Para verificar reemplazo en la ecuación el valor hallado

2 . 2 + 3 - 1 = 6
4 + 3 - 1 = 6
6 = 6 Queda verificada la solución.


D) Cuando en la ecuación hay varias incógnitas multiplicadas o divididas por un número de un miembro de la igualdad y del otro, acompañados con sumas o restas de números. Se separan en términos de ambos lados de la igualdad, y se transponen a un miembro de la igualdad, los números que multiplican a la incógnita, y al otro, los números solos. Ejemplo:
Primer paso, separo en términos:
El 2 y el 3 que son positivos en el primer miembro de la igualdad, los paso restando, al segundo:

El 5x que es negativo en el segundo miembro, lo paso positivo al primero:

Sumo las x del primer miembro, y los números del segundo:
Luego el 3 lo paso dividiendo, y me queda x=6/3; x=2

Comprobación:

volver
Ejercicios:


Resolver las siguientes ecuaciones y corroborar la solución encontrada:

1) 4x-2=10 2) 6x-3=x+17 3) 2x+5=3


4) 7x=4x+6 5) 2x=9+x 6) 6x=24-2x


7) 10=15-5x 8) x-8=4-x 9) 3x-10=18-x


10) 7x-8=3x+4 11) 2-3x-5=5-8x+x 12) x+2=3-2x+8



RESPUESTAS


1) x=3 2) x=4 3) x=-1

4) x=2 5) x=9 6) x=3

7) x=1 8) x=6 9) x=7

10) x=3 11) x=2 12) x=3